abdul hanif: 11/06/11

barisan dan deret

Pola Bilangan

Jika anggota-anggota suatu himpunan diurutkan menurut suatu aturan tertentu maka akan membentuk suatu barisan bilangan. Perhatikan barisan bilangan berikut ini:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…

Urutan bilangan-bilangan tersebut adalah sebagai berikut:

urutan ke-1 adalah 1
urutan ke-2 adalah 2
urutan ke-3 adalah 3
urutan ke-4 adalah 5
urutan ke-5 adalah 13
urutan ke-6 adalah 21
urutan ke-7 adalah 34

Ternyata nomor urut bilangan-bilangan tersebut merupakan bilangan asli. Oleh karena itu barisan dapat didefinisikan sebagai fungsi dari bilangan asli atau fungsi yang domainnya adalah bilangan asli.

Anggota-anggota barisan bilangan disebut suku dan dinotasikan dengan U. Keterkaitan bilangan asli dengan anggota-anggota suatu barisan dapat digambarkan sebagai berikut :

Un = f(n) artinya bahwa suku-suku barisan bilangan merupakan fungsi dari bilangan asli.

Dengan demikian barisan bilangan dapat dinyatakan dengan : U₁, U₂, U₃, U₄, ..., U_n.

Barisan Bilangan

Diketahui suatu barisan bilangan : 1, 4, 9, 16, . Bagaimana pola barisan bilangan tersebut?

Nampak bahwa :

suku ke-1 = U₁ = 1
suku ke-2 = U₂ = 4
suku ke-3 = U₃ = 9
suku ke-4 = U₄ = 16

Jika digambarkan dengan diagram panah, maka diperoleh pola sebagai berikut :

Hubungan setiap anggota himpunan A ke anggota himpunan B dapat dideskripsikan sebagai kuadrat dari

Sehingga dapat dikatakan bahwa barisan tersebut mempunyai suku ke-n

Diketahui suatu barisan bilangan : 2, 5, 8, 11,. Bagaimana pola barisan bilangan tersebut?

Jika anggota-anggota barisan bilangan tersebut dihubungkan dengan angota domainnya (bilangan asli).

Notasi Sigma

Notasi sigma adalah sebuah tanda yang digunakan untuk menuliskan penjumlahan secara singkat. Notasi sigma, ditulis dengan

Secara umum, notasi sigma didefinisikan sebagai berikut :

Dimana:

i adalah indeks penjumlahan

n adalah batas bawah penjumlahan

n adalah batas atas penjumlahan

Sifat-sifat notasi sigma:

1.   Barisan Aritmatika
Bentuk umum:
U₁, U₂, U₃,………. U_n
Rumus:
beda -> b = U_n - U_n-1
suku ke-n barisan aritmatika:
U_n = a+(n-1)b
U_n = Suku ke-n
a = Suku pertama = U₁
b = beda
Contoh soal:
1. Diketahui barisan 6, 9, 12,..
Tentukan: a. Beda
b. Suku ke 50
Jawab:
a.   b = U_n -U_n-1 =9-6 = 3
b.   S₅₀= a+(n-1)b
= 6+(50-1) 3
= 6+(49) 3
= 153
Jadi, suku ke-50 adalah 153.
2.   Diketahui barisan aritmatika dengan U = 2 dan U = 14.
Tentukan: a. Nilai suku pertama dan bedanya      b. Suku ke-25

Deret aritmatika
Bentuk umum:
U₁,u₂,u₃……u_n
Rumus:
Jumlah n suku pertama:
S_n = n/2 (a + U_n ) atau S_n = n/2 {2a + (n - 1)b atau U_n= S_n - S_{n - 1}

Contoh soal:
Hitunglah jumlah 50 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 + …….
Jawab:
2 + 4 + 6 + 8 + …… U₅₀
a = 2, b = 2, n = 50
S_n = n/2 { 2a + (n - 1)b}
S₅₀ = 50/2 {2(2) + (50 - 1)2}
= 25 {4 + (49)2}
= 25 {4 + 98}
= 25 (102)
= 2550

2.   Barisan Geometri
Barisan bilangan U₁,U₂,U₃,…… U_n disebut dengan barisan geometri, apabila punya yang namanya rasio (r).
r = U₂/U₁ = U₃/U₂ = U₄/U₃= U_n/U_n-1

Contoh soal:

Tentukan rasio ke 8 dari barisan 2,4,8,16,…

Jawab:
a = 2
r = 4/2
= 2
U_n = ar^n-1
U₁₀ = 2 . 2^10-1
= 2 . 2⁹
= 2 . 512
= 1024

Deret geometri
Bentuk umum
U₁ + U₂ + U₃ +…… + U_n
a + ar + ar² +…….. + ar^n-1
Rumus jumlah n suku deret geometri:
S_n= a (1 - rⁿ)/1 - r jika r < 1
Dan
S_n = a (rⁿ - 1)/r - 1 jika r > 1
Contoh soal:
Hitunglah jumlah 8 suku dari deret 2 + 4 + 8 +…..
Jawab:
2 + 4 + 8 +….
a = 2
r = 2 berarti harus memakai yang r > 1
maka:
S_n = a (rⁿ - 1)/r-1
S₈= 2 ( 2⁸ - 1)/ 2-1
= 2 (256 - 1)/2-1
= 2 (255)
= 510

identitas dan persamaan trigonometri

[Identitas Trigonometri]

Dari gambar di atas diperoleh :

Jadi :

[Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana]

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan trigonometri suatu sudut, di mana sudutnya dalam ukuran derajat atau radian. Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menentukan nilai x

yang memenuhi persamaan tersebut sehingga jika dimasukkan nilainya akan menjadi benar.

1. Menyelesaikan persamaan sin x = sin a
Dengan mengingat rumus

Maka diperoleh:

2. Menyelesaikan persamaan cos x = cos a

Dengan mengingat rumus :

Maka di peroleh :

3. Menyelesaikan persamaan tan x = tan a

Dengan mengingat rumus :

Maka di peroleh :

luas segitiga

$L = {1 \over 2}at\!$

atau

$L = {at \over 2}\!$

Parameter
1.	$a\!$	Panjang alas segitiga
2.	$t\!$	Tinggi segitiga

$L = {1 \over 2} bc \sin\alpha\!$	atau	$L = {1 \over 2} bc \sin(\beta + \gamma)\!$	atau
$L = {1 \over 2} ac \sin\beta\!$	atau	$L = {1 \over 2} ac \sin(\alpha + \gamma)\!$	atau
$L = {1 \over 2} ab \sin\gamma\!$	atau	$L = {1 \over 2} ab \sin(\alpha + \beta)\!$

Parameter
1.	$a\!$	Panjang sisi a, terletak diseberang sudut A
2.	$b\!$	Panjang sisi b, terletak diseberang sudut B
3.	$c\!$	Panjang sisi c, terletak diseberang sudut C
4.	$\alpha\!$	Besar sudut yang terletak di sudut A
5.	$\beta\!$	Besar sudut yang terletak di sudut B
6.	$\gamma\!$	Besar sudut yang terletak di sudut C

$L = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\!$

Parameter
1.	$a\!$	Panjang sisi a, terletak diseberang sudut A
2.	$b\!$	Panjang sisi b, terletak diseberang sudut B
3.	$c\!$	Panjang sisi c, terletak diseberang sudut C
4.	$s\!$	Setengah keliling segitiga $s = {1\over 2}(a+b+c)\!$

aturan sinus dan cosinus

Hukum sinus ialah pernyataan tentang segitiga yang berubah-ubah di udara. Jika sisi segitiga ialah (kasus sederhana) a, b dan c dan sudut yang berhadapan bersisi (huruf besar) A, B and C, hukum sinus menyatakan

${\sin A \over a}={\sin B \over b}={\sin C \over c}.\,$

Rumus ini berguna menghitung sisi yang tersisa dari segitiga jika 2 sudut dan 1 sisinya diketahui, masalah umum dalam teknik triangulasi. Dapat juga digunakan saat 2 sisi dan 1 dari sudut yang tak dilampirkan diketahui; dalam kasus ini, rumus ini dapat memberikan 2 nilai penting untuk sudut yang dilampirkan. Saat ini terjadi, sering hanya 1 hasil akan menyebabkan seluruh sudut kurang daripada 180°; dalam kasus lain, ada 2 penyelesaian valid pada segitiga.
Timbal balik bilangan yang yang digambarkan dengan hukum sinus (yakni a/sin(A)) sama dengan diameter d . Kemudian hukum ini dapat dituliskan

${a \over \sin A }={b \over \sin B }={c \over \sin C } = d.$

Hukum kosinus, atau disebut juga aturan kosinus, dalam trigonometri adalah aturan yang memberikan hubungan yang berlaku dalam suatu segitiga, yaitu antara panjang sisi-sisi segitiga dan kosinus dari salah satu sudut dalam segitiga tersebut.
Perhatikan gambar segitiga di kanan.
Aturan kosinus menyatakan bahwa

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\,$

dengan $\gamma\,$ adalah sudut yang dibentuk oleh sisi a dan sisi b, dan c adalah sisi yang berhadapan dengan sudut $\gamma\,$ .
Aturan yang sama berlaku pula untuk sisi a dan b:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha\,$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta\,$

Dengan kata lain, bila panjang dua sisi sebuah segitiga dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut diketahui, maka kita dapat menentukan panjang sisi yang satunya. Sebaliknya, jika panjang dari tiga sisi diketahui, kita dapat menentukan besar sudut dalam segitiga tersebut. Dengan mengubah sedikit aturan kosinus tadi, kita peroleh:

$\cos \alpha\ = {b^2 + c^2 - a^2 \over 2bc}$

$\cos \beta\ = {a^2 + c^2 - b^2 \over 2ac}$

$\cos \gamma\ = {a^2 + b^2 - c^2 \over 2ab}$

Minggu, 06 November 2011

barisan dan deret

identitas dan persamaan trigonometri

luas segitiga

aturan sinus dan cosinus